Eu sei que estou começando esta resposta com uma pergunta, mas tenho um ponto:
Sem ligar para questionar o suposto absurdo do pedido, se este for um típico aplicativo da web baseado em navegador HTTP, como um programaticamente poderia capturar uma captura de tela e enviá-la ao servidor?
Espero que isso seja impossível, já que representaria uma séria preocupação de segurança e privacidade do navegador.
Agora imagine se o número do cartão de crédito de alguém também estivesse na tela no momento da captura da captura de tela. Agora você inadvertidamente captura informações de cartão de crédito e seu sistema deve estar em conformidade com PCI. Este é outro caminho de preocupação.
A única maneira de fazer isso provavelmente seria usar um plug-in de navegador de terceiros como Flash, Silverlight, Java Applets ou um controle ActiveX com privilégios de sistema elevados. O componente precisaria ser assinado e o usuário precisaria concordar com o componente com acesso para executar o código em sua máquina.
Existem muitos buracos nesse plano e duvido seriamente que outros institutos implementem algo semelhante. Eu certamente nunca ouvi falar disso na minha carreira profissional, pelo menos não com um aplicativo da web.
EDITAR:
Acabei de pensar em outra opção que provavelmente refletiria muito mais o que eu acho que seu cliente realmente está pedindo.
Eu tinha um aplicativo que fiz para um cliente em que o cliente tinha que concordar e assinar um documento do NDA para obter acesso ao aplicativo. Eu consegui isso através de um documento PDF assinável. Você poderia ter um campo de assinatura em um documento PDF que usando um componente USB de pen + pad ou apenas clicando nele para confirmar a validade da fonte para fins legais seria tão bom quanto se você tivesse assinado fisicamente o documento manualmente.
Ele é chamado de assinatura eletrônica e eles resistem em tribunal.
O documento PDF após ser assinado é criptografado e um hash é armazenado junto com ele, o que verifica se o documento NÃO foi adulterado após a assinatura. Leitores modernos de PDF, como a Adobe, podem realmente transmitir um documento assinado para um servidor, onde você pode armazená-lo em um sistema de gerenciamento de documentos ou banco de dados para salvaguarda.
A qualquer momento, os usuários administradores podem recuperar um desses documentos e imprimi-los.
Isso pode estar mais de acordo com o que seu cliente realmente precisa, mas teve um mau momento para explicar corretamente.